MajiSpline一个关于链条的经验总结
基础概念
Lerp插值
1. 一维lerp
从A到B，走到百分之t, 0<=t<=1
lerp(a, b, t) = A * (1-t) + B * t
比如一条直线中A=10,B=20,t=0.2
lerp(A,B,t) = 10*(1-0.2)+20*0.2 = 8+4=12
2. 二维Lerp
A是点(ax,ay),B是(bx,by),t依然是百分比 点A到点B的方向向量v=B-A = (xb-xa,yb-ya) lerp(A,B,t)的意思是从点A出发沿着v的方向走到B的百分比t的那个点的坐标是多少。
lerp(A,B,t) = (
xa + t * (xb - xa),
ya + t * (yb-ya)
)
三维同理。
三次贝塞尔曲线
直观看
https://observablehq.com/@mbostock/de-casteljaus-algorithm?utm_source=chatgpt.com#cell-0
利用4个蓝色的点获得一条黑色点形成的路径曲线
4个点：P0,P1,P2,P3 ,图中为蓝色。
先在P0到P1,P1到P2,P2到P3插值，得到三个橘黄色点O1,O2,O3，
再在O1到O2，O2到O3差值，得到黑色点B1.
B1的所有差值点连成一起就是黑色曲线。
除了起点和终点，剩下的两个蓝色点就如Photoshop钢笔工具中的“手柄”。
Hermite曲线
https://spline.sudohub.dev/index.html 我知道起点来的方向，我知道终点走的方向，然后得到这个曲线。
CatmullRom曲线
简称CR曲线
https://www.desmos.com/calculator/9kazaxavsf?utm_source=chatgpt.com&lang=zh-CN
有四个点P0,P1,P2,P3. 目的是我们要得到P1到P2这一段的曲线， 用P0和P2得到P1附近的方向，用P1和P3得到P2附近的方向。 用前后相邻点，自动估计当前点的切线方向。
完全看不懂数学公式，嘻嘻
轨道投影法的问题
问题
我们通过上面的内容可以构造出任意的线。那么可以尝试生成轨道，首先利用”投影法”但会出现下面的问题：
投影法：世界 Y+ 向量投影到切线的法平面上。
一般世界Y都是向上的，切线就是当前点的前进反向，所以在图片中的位置切线和Y反向几乎相同。
当切线趋近竖直（≈ 指向 ±Y）时，|dotTUp| → 1，法平面内几乎没有 Y+ 分量可提取，投影结果接近零向量，法线方向变得数值不稳定——只要轨道稍有左右偏，结果可能朝完全相反的方向，产生 180° 翻转。
竖向回环（Vertical Loop）在顶点处切线完全竖直，这就是问题的发生点。
解决 ：平行传输（Parallel Transport）
平行传输不依赖世界坐标系，而是用帧间最小旋转把前一帧的法线”运输”到当前帧
// 每一帧：
const axis = cross(prevTangent, currentTangent); // 切线转动轴
const angle = acos(dot(prevTangent, currentTangent)); // 转动角
ptNormal = prevNormal.applyAxisAngle(axis, angle); // 旋转传递
这样法线的传递完全由曲线几何自身决定，不涉及世界 Y+ 方向，切线垂直时也不会退化。
总结
有竖直的地方设置这一段采用平行传输，其他地方可以正常使用投影法。
平行传输的出口需要特别的考虑，进入平行传输段直接切换即可，但是退出需要做Holonomy补偿+100帧渐变。